01 Fizik
80 metreden 4 saniyede düşen bir ayının rengi nedir?
Serbest düşüş formülü ve yerçekimi ivmesini düşün...
BEYAZ
Serbest düşüş formülü: h = ½ · g · t²
h = 80 m, t = 4 sn için: 80 = ½ · g · 16 → g = 10 m/s²
Yerçekimi ivmesinin tam olarak 10 m/s² olduğu tek yer Kuzey Kutbu'dur. Dünya'nın geoit şekli nedeniyle kutuplarda yerçekimi ~9.83 m/s² (yaklaşık 10), ekvatorda ise ~9.78 m/s²'dir.
Dolayısıyla orada yaşayan ayı bir Kutup Ayısıdır → Beyazdır.
h = 80 m, t = 4 sn için: 80 = ½ · g · 16 → g = 10 m/s²
Yerçekimi ivmesinin tam olarak 10 m/s² olduğu tek yer Kuzey Kutbu'dur. Dünya'nın geoit şekli nedeniyle kutuplarda yerçekimi ~9.83 m/s² (yaklaşık 10), ekvatorda ise ~9.78 m/s²'dir.
Dolayısıyla orada yaşayan ayı bir Kutup Ayısıdır → Beyazdır.
02 Olasılık
İki çocuklu ailede en az biri erkek. Diğerinin erkek olma ihtimali?
Çoğu insan %50 der. Algoritma farklı bir şey söylüyor...
1/3 ≈ %33
Tüm olası kombinasyonlar (doğum sırasına göre):
KombinasyonDurum
♂ Erkek – ♂ Erkek✓ Geçerli
♂ Erkek – ♀ Kız✓ Geçerli
♀ Kız – ♂ Erkek✓ Geçerli
♀ Kız – ♀ Kız✗ Elendi
"En az biri erkek" bilgisi Kız-Kız ihtimalini eler. Geriye 3 eşit ihtimal kalır, sadece 1 tanesi (Erkek-Erkek) şartı sağlar. Bu Koşullu Olasılık (Bayesian) mantığıdır.
03 Olasılık
Kaç kişide iki kişinin aynı gün doğmuş olma ihtimali %50'yi geçer?
Sezgin 183 veya daha büyük bir sayı söylüyor olabilir...
23 KİŞİ
Doğum Günü Paradoksu — Beynimiz "benimle aynı gün doğan var mı?" diye düşünür, bu için 253 kişi gerekir. Ama soru "herhangi iki kişi" soruyor.
23 kişi arasında C(23,2) = 253 farklı çift oluşur. Bu kadar çift olunca eşleşme ihtimali %50.7'ye fırlar.
70 kişide ise bu ihtimal %99.9! Siber güvenlikte Hash Çakışması açıklarının temeli bu mantığa dayanır.
23 kişi arasında C(23,2) = 253 farklı çift oluşur. Bu kadar çift olunca eşleşme ihtimali %50.7'ye fırlar.
70 kişide ise bu ihtimal %99.9! Siber güvenlikte Hash Çakışması açıklarının temeli bu mantığa dayanır.
04 Algoritma
100 aday arasından en iyisini seçmek için hangi algoritmayı izlemelisin?
Her adayla yalnızca bir kez görüşebiliyorsun, reddettiğine dönemiyorsun...
%37 KURALI
1
İlk 37 kişiyi sadece gözlemle — ne kadar iyi olurlarsa olsunlar hiçbirini seçme.
2
Bu 37 içindeki en iyiyi referans noktası olarak belirle.
3
37. kişiden sonra referans noktandan daha iyi olan ilk kişiyi hemen seç.
Neden 37? 1/e ≈ 0.368 — doğal logaritma tabanının tersi. "Bilgi toplama" ile "harekete geçme" arasındaki matematiksel optimum dengeyi temsil eder. Bu algoritmayı Sekreter Problemi (Optimal Stopping) olarak da bilirsin.
05 Dizi
2
→
4
→
8
→
16
→
?
Sıradaki sayı 32 değilse nedir?
Sayıları değil, yazılışlarını düşün...
ONSEKİZ
SayıHarf Sayısı
İKİ3 harf
DÖRT4 harf
SEKİZ5 harf
ONALTI6 harf
ONSEKİZ7 harf ✓
Dizi matematiksel değil linguistik: her terim bir öncekinden 1 harf daha uzun yazılan bir sayıdır. ONSEKİZ (18) yedi harfli ve bu kurala uyan sayıdır; 32 (OTUZİKİ = 7 harf değil) değil.
06 Geometri
1
→
2
→
4
→
8
→
16
→
?
6. terim 32 değilse nedir?
Moser Daire Problemi ile ilgili bir ipucu...
31
Moser Daire Problemi: Bir daire üzerine n nokta koyup tüm noktaları birleştirince oluşan maksimum bölge sayısı.
İlk 5 terim geometrik dizi gibi görünse de n=6'da sapma başlar:
İlk 5 terim geometrik dizi gibi görünse de n=6'da sapma başlar:
1
·
2
·
4
·
8
·
16
·
31
·
57…
Bu dizi aynı zamanda Pascal üçgeninin her satırındaki ilk 5 sayının toplamıyla elde edilir. Görünüşün arkasında bambaşka bir matematik gizlidir.
07 Mantık
Ali'nin üç oğlunun yaşları nedir? (Çarpımları 36, toplamları karşıdaki binadaki pencere sayısına eşit, en büyüğün gözleri mavi.)
Matematikçi neden "bir ipucu daha" istedi? Ve gözlerin rengi ne anlama geliyor?
9 · 2 · 2
Yaş 1Yaş 2Yaş 3Toplam
361138
182121
123116
94114
92213
66113
16613 ✓
43310
Matematikçi pencere sayısını gördü ama yine de emin olamadı — çünkü toplam 13'e ulaşan iki kombinasyon var: (6,6,1) ve (9,2,2).
"En büyüğün gözleri mavi" ipucu kritiktir: "en büyük" denmesi, tekil bir en büyüğün var olduğunu gösterir. (9,2,2) durumunda en büyük 9'dur. (6,6,1) durumunda tek bir en büyük yoktur — iki tane 6 vardır. Demek ki doğru cevap (9, 2, 2)'dir.
"En büyüğün gözleri mavi" ipucu kritiktir: "en büyük" denmesi, tekil bir en büyüğün var olduğunu gösterir. (9,2,2) durumunda en büyük 9'dur. (6,6,1) durumunda tek bir en büyük yoktur — iki tane 6 vardır. Demek ki doğru cevap (9, 2, 2)'dir.
08 Algoritma
10 Para
VS
⚖️
Terazi
10 madeni paradan biri sahte ve hafif. En az kaç tartımda bulunur?
3 TARTIM
Her tartım 3 sonuç verir (sol ağır / eşit / sağ ağır). Bu nedenle n tartım → 3ⁿ para
1
10'u 3+3+4 olarak böl. Sol kefe 3 ↔ Sağ kefe 3, 4 tanesi beklemede.
2
2 tartım en fazla 9 parayı (3²=9) kapsar. 10 > 9 → 2 tartım yetmez.
3
3 tartım en fazla 27 parayı (3³=27) kapsar. Algoritma her zaman en kötü senaryoya göre tasarlanır.
09 Algoritma
12 madeni paradan biri sahte, hafif mi ağır mı bilinmiyor. En az kaç tartımda bulunur?
10 para sorusundan daha zor: sahteni yönünü bilmiyorsun...
3 TARTIM
3 tartım 3³ = 27 olasılık sağlar. 12 para × 2 (hafif/ağır) = 24 durum → 27 ≥ 24 ✓
1
1. tartı: 4-4-4 böl. Sol kefe 1–4, Sağ kefe 5–8, Kenarda 9–12.
2
Dengede: Sahte 9–12'de. 3 şüpheli parayı (9,10,11) tartarak 12'yi de kontrol et.
3
3. tartı: 2 şüpheli parayı tartarak sahteni ve yönünü (hafif/ağır) kesinleştir.
Her dalda 3 tartımda çözüm garantilenir. Cevap: En az 3 tartı yeterlidir.
09 Geometrik Olasılık
Elimizdeki 1 metre uzunluğunda bir ip var, rastgele seçilen iki noktadan kesilerek üç parçaya ayrılıyor. Oluşan bu üç parçanın bir üçgen oluşturma olasılığı nedir?
Bir üçgenin oluşabilmesi için Üçgen Eşitsizliği kuralını göz ardı etmeyin...
%25 (0,25)
Bir üçgenin oluşabilmesi için hiçbir parça, toplam uzunluğun yarısından Yani:
1/2 büyük olamaz. Böylelikle a < 0.5, b < 0.5 ve a + b > 0.5 (Üçüncü parçanın 0.5'ten küçük kalması için) olur ✓
1
Tüm Durumların Alanı:İki noktadan kesim yaptığımızda oluşan tüm matematiksel ihtimaller, bir koordinat düzleminde kenarı 1 birim olan bir kare oluşturur. Toplam alan 1x1=1 birim karedir.
2
Uygun Durumların Belirlenmesi: Grafik üzerinde çizdiğimizde, bu kısıtlamaların kare içerisinde sadece belirli bir üçgen bölgeyi taradığını görürüz..
3
Olasılığın Hesaplanması: Şartları Sağlayan Alan: 1/8 + 1/8 şeklinde simetrik iki bölge oluşur ve toplamda bu alan 1/4'e denk gelir.
Çözüm Siümlasyonunu sitemizde yer almaktadır.Cevap: %25